椭圆规(Ellipsograph)

2020-07-18 作者: 围观:191 45 评论


利用简单定义的椭圆规

圆规的原理是利用圆的定义「到定点(圆心)距离等于定值(半径),在课堂上只需要一条无弹性的线加上教师的手固定圆心即可。想仿造圆规利用椭圆定义「到两定点(焦点)距离和等于定值(长轴长)製造椭圆规,却没那幺容易:用两只手固定焦点后,还得生出第三只手画图,就算真有神来一手(例如磁铁)能同时固定两个焦点,实际上画图时,线也会不断卡住。有人脑筋动得快,线不固定在焦点,将定义引申为「到两焦点距离和加上两焦点距离等于定值」,便成了最简易版椭圆规,如图,只要随时绷紧三线段,就能画出椭圆。

椭圆规(Ellipsograph)

利用参数式的椭圆规

另一种製造椭圆规的方法是利用参数式,简图如下,其中规臂 \(\overline{AP}=a\),\(\overline{BP}=b\),\(P\) 点为笔尖所在位置;画椭圆时先固定十字底座,调整 \(B\) 点位置后将之锁紧在规臂上,即可开始旋转规臂,旋转同时 \(A\) 点保持在纵轴滑动、\(B\) 点保持在横轴滑动,当规臂转完 \(360^\circ\)时,\(P\) 点的轨迹即为椭圆,且此椭圆的半长轴为 \(a\)、半短轴长为 \(b\)。

椭圆规(Ellipsograph)

简单说明此轨迹为椭圆:

若以十字中央为原点,十字横向为 \(x\) 轴、纵向为 \(y\) 轴架一直角坐标系,并设 \(\theta\) 为以 \(x\) 轴为始边、规臂 \(\overline{AP}\) 为终边之广义角,不难看出 \(P\) 点坐标为 \((a\cos\theta,b\sin\theta)\),即方程式为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的椭圆参数式。其中 \(a\) 为椭圆的半长轴长、\(b\) 为半短轴长。

椭圆规(Ellipsograph)

网路上许多这类型的椭圆规,在此提供一段youtube的影片给大家欣赏。http://www.youtube.com/watch?v=1AeAtP5Hz_Y

利用圆锥截痕的椭圆规

在一九九九年大陆的科学展览中,曾经出现另一款利用圆锥截痕的椭圆规,其设计概念如图(数学教育 第十三期 12/2001),母线斜着固定于纸张后,笔沿着垂直母线的圆盘画一圈,即能画出椭圆;此画法简洁有力,不过细心的人或许注意到,笔臂的长度在画的过程中必须不断改变,所以这大概是为什幺我们比较看不到此种椭圆规。想看笔臂伸缩画椭圆的示意动画,可上网观看youtube的影片 http://www.youtube.com/watch?v=46duczd1d6U。

椭圆规(Ellipsograph)

其他类型的椭圆规

写过圆锥曲线练习题的人都知道,许多种「轨迹」题目的答案都是椭圆,每一种理论上都能发展成椭圆规;最后提供两个有趣的椭圆规,其一是利用圆的内摆线,在此提供youtube连结,http://www.youtube.com/watch?v=AgQZlfIvM1Y;其二是毛尔在「毛起来说三角」画里提到的Brown’s Ellipsograph,也非常神奇,有兴趣的人可以参考台北市大同高中吴新吉老师的文章—「一件神奇的Brown’s Ellipsograph椭圆规」。

椭圆规(Ellipsograph)

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